¡Únete a nuestro boletín!
X
Философия математики - это философское исследование концепций и методов математики. Она занимается природой чисел, геометрических объектов и других математических понятий; ее волнует их когнитивное происхождение и применение к реальности. В ней рассматриваются вопросы обоснования методов математического вывода. В частности, рассматриваются логические проблемы, связанные с математической бесконечностью.
Среди наук математика имеет уникальное отношение к философии. С древности философы завидовали математике как образцу логического совершенства, благодаря ясности ее понятий и определенности выводов, и поэтому посвятили много усилий объяснению природы математики.
В этом учебном пособии будут рекомендованы источники, которые дают представление об основных вопросах философии математики и исторически важных взглядах на эти вопросы. Некоторое знакомство с математикой является необходимым условием для осмысления этих вопросов. Книга " Что такое математика?" Ричарда Куранта и Герберта Роббинса представляет собой блестящее изложение тем и методов современной математики. Книга предназначена для неспециалистов, но ни одна из сущностей математики не была упущена; это не простая книга, но она приносит удовлетворение.
Большинство философов излагали свои взгляды на математику в работах на более общие темы. Антология " Философия и математика " Роберта Баума содержит подборки по математике большинства крупнейших западных философов, от Платона до Милля. В подборках содержится достаточно материала, чтобы обеспечить контекст для взглядов каждого философа на математику, а во вступительных эссе Баума прослеживается философское влияние на каждого мыслителя.
Наиболее влиятельными были взгляды Платона и Канта, и у Баума есть раздел о каждом из них. Заинтересованные объективисты, возможно, захотят дополнить раздел Баума об Аристотеле изучением книги Томаса Хита " Математика по Аристотелю". Книга Баума также содержит несколько современных эссе, из которых стоит прочитать работу Макса Блэка "Неуловимость множеств", критикующую эпистемологию теоретиков множеств.
Теория механики Ньютона и его изобретение интегрального и дифференциального исчисления для ее поддержки являются одними из величайших достижений в истории. Центральная идея предела является логически тонкой (именно эта тонкость делает недоуменным парадокс Ахиллеса Зенона), и Ньютон не сумел строго подойти к вопросу о пределах. Его недоброжелатели - в первую очередь Беркли - много говорили об этом недостатке. Коши, Вейерштрасс и другие математики XIX века разработали строгую теорию пределов, которая послужила неопровержимым фундаментом для теории Ньютона и является краеугольным камнем современного математического анализа. Эта история эпистемологического успеха хорошо изложена в книге Карла Бойера " История исчисления и его концептуальное развитие".
Другой логической жемчужиной, которая является центральной особенностью современного математического анализа, является идея хорошо поставленной задачи, которая была введена математиком Жаком Хадамаром. Когда предлагается новая математическая задача, первым делом математики должны установить, что задача имеет решение, что она имеет только одно решение, и что решение зависит разумным образом от данных (например, если уравнение связывает напряжение с освещенностью лампочки, то крошечное увеличение напряжения должно привести лишь к небольшому увеличению освещенности).
Задача, обладающая этими свойствами, называется "хорошо поставленной". Когда математики устанавливают, что математическая проблема хорошо поставлена, они убеждаются, что это разумный вопрос, который можно задать, прежде чем пытаться ответить на него. Исследователям во многих других областях было бы полезно перенять такие осторожные эпистемологические привычки. К сожалению, философского введения в эту тему не существует.
В настоящее время популярно мнение, что математика прошла через ряд логических или эпистемологических кризисов, которые нанесли ей серьезный ущерб. Историю этих "кризисов" (например, изобретение неевклидовой геометрии и открытие парадоксов теории множеств), а также подробный обзор проблем современной математической философии см. в книге Морриса Клайна " Математика: The Loss of Certainty. Клайн был математиком; эта книга точно отражает отношение, которое можно встретить среди практиков, и она хорошо документирована соответствующими математическими выкладками.
Чтобы определить, есть ли изъяны в основаниях предмета, необходимо сначала ответить на более фундаментальный эпистемологический вопрос о том, что представляет собой надлежащее основание. Объективистская позиция, согласно которой все знания должны основываться на восприятии, постигаться и организовываться концептуально, практически не сыграла никакой роли в историческом развитии философии математики. Основная задача объективистского подхода заключается в объективном обосновании математики. Важной вторичной задачей является объяснение того, как другие эпистемологические предпосылки привели к ощущению кризиса и сомнения, характерному для этой области.
Книга Стефана Корнера "Философия математики, вводный очерк" - это менее исторически и математически подробное изложение, чем у Клайна, но более философски сложное. Корнер посвящает по две главы - одну пояснительную и одну критическую - каждой из трех основных современных школ математической философии: формалистам, логикам и интуиционистам. Изложение Корнера отличается ясностью, краткостью и непредвзятостью.
Логицистская школа, центральными фигурами которой являются Бертран Рассел и Готтлоб Фреге, ставила своей целью "свести математику к логике". Книга Рассела "Введение в математическую философию " - это нетехническое введение в логицистскую программу. Логицистская концепция логики радикально отличается от объективистской или, в более общем смысле, аристотелевской концепции логики; и это взгляд на логику, предполагаемый в большинстве современных математических философий. Введение Рассела представляет собой исключительно ясное изложение этой концепции логики и ее применения к математике. Оно ценно как руководство к предпосылкам, которые объективный подход к основаниям математики должен будет оспорить.
Работы Генри Витча, в частности " Интенциональная логика", критикуют концепцию логики Рассела с аристотелевской точки зрения. Витч утверждает постулат, с которым согласен объективизм - что сознание интенционально, что оно всегда о мире или о мире, который существует и имеет идентичность независимо от сознания.
Формалистская школа была основана математиком Дэвидом Гильбертом. Формалисты стремятся выразить математику в виде строго формальных логических систем и изучать их как таковые, не заботясь об их смысле. (Это противоположно логикам, которые стремятся установить смысл математических понятий, определяя их в терминах понятий логики). Их основной мотивацией было обоснование математики бесконечных множеств, разработанной Георгом Кантором в конце XIX века. Формалисты надеялись выразить математику бесконечных множеств в такой системе и установить непротиворечивость этой системы конечными методами. Если им это удастся, думали они, то они смогут обосновать использование бесконечных множеств без необходимости решать сложный вопрос о том, что же такое эти множества.
Формалистский подход объясняется и иллюстрируется в книге " Доказательство Годеля " Эрнеста Нагеля и Джеймса Ньюмана. Эта короткая книга - шедевр в том, чтобы сделать сложный материал доступным для неспециалистов. Книга начинается с изложения формализма и завершается очень читабельным изложением доказательства теоремы о неполноте Курта Годеля. Эта теорема показала, на собственных условиях формалистов, что их программа несостоятельна.
Интуиционисты, лидером которых был математик Л.Э.Я. Брувер, наиболее известны своим консерватизмом в отношении математической бесконечности. Они выступают против применения закона исключенной середины к утверждениям, связанным с математической бесконечностью, как в доказательстве, имеющем следующую форму: либо существует число со свойством P, либо нет; если нет, то следует следствие, которое заведомо ложно; поэтому существует число со свойством P. Такие доказательства не говорят нам, что это за число и почему оно обладает этим свойством. Конструктивные доказательства, напротив, предоставляют эту информацию, и интуиционисты требуют конструктивных доказательств математических теорем.
Интуиционисты находят свои философские корни в Канте. Однако их осторожность в отношении бесконечного должна понравиться объективистам. Их позиция относительно закона исключенного среднего может быть истолкована как требование, чтобы высказывание было установлено как значимое до применения к нему законов логики, что, безусловно, одобряется объективизмом. Их настаивание на конструктивных доказательствах можно рассматривать как средство уточнения того, что подразумевается под существованием числа.
К сожалению, интуиционисты не всегда ясно представляют смысл и философские основания своих позиций; они уделяют внимание математическим деталям в ущерб философскому изложению. Здесь нет введения, как у Рассела или Нагеля и Ньюмена. Несколько работ интуиционистов - Брувера, Хейтинга и Думметта - есть в сборнике " Философия математики, избранные чтения" под редакцией Пола Бенасеррафа и Хилари Патнэм. Введение к этому сборнику также содержит четкое обсуждение интуиционистских принципов.
Правильное понимание абстракции является необходимым условием для объяснения математических понятий. Исторические теории математических понятий, как правило, воплощают худшие стороны исторических теорий универсалий; здесь доминируют платоновский реализм, кантовский идеализм и крайний номинализм.
Выявление Айн Рэнд природы универсалий и ее анализ процесса абстрагирования могут внести большой вклад в философию математики. Однако объективистской литературы на эту тему не существует. Указание на объективистский подход к предмету дано в эссе Дэвида Росса "Когнитивная основа арифметики". Комментарии Айн Рэнд на различные математические темы содержатся в приложении к изданию 1990 года " Введение в объективистскую эпистемологию".
Объективизм признает более глубокую связь между математикой и философией, чем это представляют себе сторонники других философий. Согласно теории Айн Рэнд, процесс формирования понятий включает в себя постижение количественных отношений между единицами и опущение их конкретных измерений. Таким образом, она помещает математику в ядро человеческого знания как важнейший элемент процесса абстрагирования. Это радикальный, новый взгляд на роль математики в философии. Как выразился Леонард Пейкофф в книге " Объективизм: Философия Айн Рэнд:
Таким образом, область, которой должна заниматься объективистская философия математики, - это значение и структура измерения в теории пропусков измерения; эту подобласть философии математики можно назвать математикой философии. Объективистскую точку зрения см. в обсуждениях Рэнд во " Введении в объективистскую эпистемологию", " Объективизм" Пейкоффа : Философия Айн Рэнд" и "Теория абстракции" Дэвида Келли.
.png){kind=icon}
